Так ли хорош цифровой звук — частота дискретизации и теорема Котельникова

Так ли хорош цифровой звук - частота дискретизации и теорема Котельникова

Часто производители аудио аппаратуры, особенно наушников, в процессе пиара своей продукции активно продвигают “кристальную чистоту” звука и широчайший частотный диапазон, который не только за 20 кГц переваливает, но и в некоторых случаях доходит даже до 100 кГц. Конечно это имеет свои плюсы, даже не смотря на то, что выше 20к Гц мы не слышим, а то и еще меньше. Но есть определенные проблемы, которые связанны с понятием частота дискретизации и вытекающие из теоремы Котельникова. Они в одночасье поставили жирный крест на применении слова “качественно” для большинства аудио-форматов и аудио устройств в моих глазах.

Любой процесс в природе является непрерывным. Например звуковой сигнал принятый микрофоном и преобразованный в электрический (аналоговый) сигнал — непрерывен.

Термин “Аналоговый сигнал” подчеркивает, что такой сигнал “аналогичен”, т.е. полностью подобен порождающему его процессу, или в данном случае звуку.

И непрерывный он не потому что будет длиться вечно, а потому, что его значение можно измерять в любые моменты времени. А между этими моментами сигнал будет продолжать непрерывно меняться.

Для лучшего понимания того, как устроен цифровой звук, советую посмотреть мой видос:

Что такое частота дискретизации?

Как только встает вопрос о переводе аналогового сигнала в цифровой, сразу возникает понятие дискретизации, т.е. разбиение непрерывного сигнала на кусочки по времени. Делается это непосредственно в процессе преобразования.

Через равные промежутки времени, называемые шагом дискретизации Δ, Аналогово-Цифровой-Преобразователь (АЦП) измеряет значение сигнала, поступающего на его вход и преобразует это значение в цифровой вид. То, как часто осуществляется измерение величины аналогово сигнала и называется частотой дискретизации.

Какая частота дискретизации считается достаточной?

Товарищ Котельников, еще в 1933 в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи» создал фундаментальную, для цифровой техники теорию, которая обычно формулируется следующим образом:

Любой непрерывный сигнал u(t) с конечным спектром (имеющим максимальное значение частоты F) можно представить в виде дискретных отсчетов u(kΔt), частота дискретизации которых должна быть выбрана не менее чем в два раза выше максимального значения спектра сигнала: f ≥ 2F, передать его по линии связи, а затем восстановить исходный аналоговый сигнал.

Говоря проще, для того чтобы можно было правильно воспроизвести (восстановить) аналоговый сигнал из цифрового вида, достаточно, чтобы частота дискретизации была вдвое выше максимальной частоты в сигнале.

Так ли хорош цифровой звук - частота дискретизации и теорема Котельникова

Верхний порог слышимости человека принято ограничивать частотой в 20кГц. Из теоремы Котельникова следует, что для правильного воспроизведения сигнала частотой 20 кГц достаточно частоты дискретизации в 40кГц. Если заглянуть в свойства подавляющего большинства аудио файлов, то можно увидеть строчку:

Так ли хорош цифровой звук - частота дискретизации и теорема Котельникова

Почему именно 44.1 кГц? Википедия отвечает так: “Эта цифра выбрана компанией Sony из соображений совместимости со стандартом телевещания PAL, за счёт записи 3 значений на линию картинки кадра x588 линий на кадр x25 кадров в секунду, и достаточности (по теореме Котельникова) для качественного покрытия всего диапазона частот, различаемых человеком на слух (20 Гц — 20 кГц).”

При частоте дискретизации в 44.1 кГц шаг дискретизации Δ составляет всего 0.00002267=22.67*10-6 секунды или 22.67 микросекунды. Это время между двумя точками сигнала.

Вроде все нормально, так чего же тут не так?

Начнем с частот, кратных частоте дискретизации. На частоте 441 Герц при нашей частоте дискретизации (44.1 кГц), на один период приходится 100 точек. Чтож, тут нет никаких претензий, синусоида идеальная. Если же повысить частоту на порядок, т.е. в 10 раз, то эти же 100 точек будут формировать уже не 1, а 10 периодов. И даже в этом случае Будет формироваться сигнал очень похожий на синусоиду.

Так ли хорош цифровой звук - частота дискретизации и теорема Котельникова

А вот на частоте 22050, т.е. наивысшей частоте, удовлетворяющей теореме Котельникова (при частоте дискретизации 44.1кГц) на 100 точек приходится 50 периодов колебаний.

Эти сигналы генерировались в программе Audacity. И по началу создалось впечатление, что точек там достаточно, просто масштаб не позволяет разглядеть и поэтому так все угловато…

Простой способ генерации сигналов разной формы в аудио редакторе Audacity - картинкаЧитайте также:

Простой способ генерации сигналов разной формы в аудио редакторе Audacity

Чтож… приблизим и рассмотрим каждый период по отдельности:

Так ли хорош цифровой звук - частота дискретизации и теорема Котельникова

Частота в 4410 Гц вполне себе достойная синусоида, чего никак не скажешь о частоте 22050Гц, с ее двумя точками на период. По факту это уже и не синусоида, а сигнал треугольной формы.

Конечно в любом реальном ЦАПе на выходе применяется НЧ-фильт, который срезает высокочастотную составляющую и скругляет этот треугольник. Однако чем выше класс вашего аудио устройства, тем заметнее будет угловатость звука

Ради эксперимента можете попробовать сгенерировать в Audcity сигналы одной и той же частоты но разных форм. У треугольной и прямоугольной форм из-за их “угловатости” и резких фронтов возникают дополнительные гармоники, а вот синусоидальный сигнал звучит гораздо более мягко и естественно.

Но даже и это не самое страшное. До этого момента рассматривались сигналы с частотами кратными частоте дискретизации.

— А что же будет, если взять другие частоты???

Так ли хорош цифровой звук - частота дискретизации и теорема Котельникова

Знакомьтесь, цифровая синусоида равной амплитуды и частотой 15 кГц. Красивый узорчик, не правда ли? Как видите амплитуда меняется с частотой. Это уже интермодуляционные искажения. Наш истинный сигнал в 15 кГц промодулирован частотой кратной 44.1 кГц.

Вы можете возразить, мол узорчик то красивый, но может звучит он как ему и положено. Для того чтобы убедиться в этом своими ушами — сгенерируйте сигнал частота которого меняется от 20 герц до 20 кГц. И вы отчетливо услышите, что с какого-то момента частота перестанет равномерно расти, а начнет плавать туда-сюда.

Оно и понятно, вот так выглядят синусоиды на разных частотах выше 10’000Гц

Так ли хорош цифровой звук - частота дискретизации и теорема Котельникова

В защиту теоремы Котельникова стоит отметить, что да, его теорема верна, иначе бы мы не смогли различать в музыке высокие звуки, и что тарелка что маракас звучали бы одинаково неправдоподобно, но она абсолютно не гарантирует высокого качества записи.

В жизни Вы врядли станете наслаждаться звучанием синусоиды, но это был очень наглядный пример проблем качества цифровых аудио записей.

Частота дискретизации и Hi-Res звук

Конечно сегодняшние технологии уже побороли данную проблему. Вероятно вам встречалось сокращение Hi-Res (High Resolution — высокое разрешение), которым обычно обзывают качество звука в 24 бита и частотой дискретизации в 192 кГц.

А это уже 10 точек на частоте 22’050 кГц, такую синусоиду уже явно можно считать идеальной. И вот там «кристально чистые верха» ваших наушников себя точно оправдают.

Возникает только 3 проблемы:

  • Стоимость подобных устройств. Например портативный плеер с такой частотой дискретизации обычно стоит около 200$.
  • Где брать записи в таком качестве.
  • Размеры аудиофайлов очень велики. 1 альбом вашей любимой группы в Hi-Res легко может занимать более 1,5Гб дискового пространства.

В заключение

Конечно от плохого звучания высоких частот еще никто не умирал и, возможно я излишне драматизирую, говоря, что частота дискретизации в 44.1 кГц так уж плоха, однако, как видите особым качеством на высоких частотах она не блещет. 

На мой взгляд в домашних условиях гораздо интереснее слушать винил. Но с виниловой вертушкой в метро не поездишь… Так что меломанские запросы придется удовлетворять цифровым плеером.

Всем качественного звука!

(P.S. — комментируем, не стесняемся :-) 

Небесный Андрей/ автор статьи

Привет! В этом окошке авторы блогов любят мериться крутостью биографий. Мне же будет гораздо приятнее услышать критику статей и блога в комментариях. Обычный человек, который любит музыку, копание в железе, электронике и софте, особенно когда эти вещи пересекаются и составляют целое, отсюда и название - АудиоГик. Материалы этого сайта - личный опыт, который, надеюсь, пригодится и Вам. Приятно, что прочитали :-) 

Это будет даже больше, чем спасибо:
Audio Geek
Комментарии: 19
  1. Anykey

    Мдя, против логики не попрёшь: на 20000 Гц при дискретизации 40000 будет тупо треугольный сигнал…
    Так просто о звуковых сложностях не доводилось читать, спасибо!

  2. Небесный Андрей (автор)

    Рад, что вам понравилось. Значит не просто так все это) Я сам не сильно задумывался о частоте дискретизации, обычно больше на битность обращал внимание, а когда случайно обнаружил что синус совсем не синус, понял какая это оказывается какашка(((

    Спасибо за Ваш комментарий :-) !

  3. Олег

    Спасибо,немножко взгруснулось что надо покупать дорогую аппаратуру))

  4. Жека

    Спасибо за доступное объяснение!

  5. Камаз

    спасибо за тему, на дискретность не обращал внимания к звуку, всегда выбирал по битности, так досконально в картинках в наше время не видел, лет 20 назад попадались такие темы, но как то не принимал всерьез, для выбора осциллографа было нормой, а со звуком не связывал, уважуха!

  6. Небесный Андрей (автор)

    Спасибо за комментарий!
    Интерес к этому вопросу возник после того, как решил посмотреть осцилографом на выходной сигнал плеера на высоких частотах…
    Сгенерировал трек, у которого частота плавно менялась от 10 до 20кГц в течении минуты, подал сигнал с выхода плеера на осцилографф, и наблюдал, как там все красиво плавает…

  7. Дмитрий

    Добрый вечер Андрей.
    Случайно наткнулся на вашу статью, давно интересовался данным вопросом, могу пояснить некоторые ваши интересные наблюдения:

    1) Мало кто про это знает и понимает, но для восстановления сигнала в теореме Котельникова необходимо указывать строгое неравенство, по обозначениям в Вашей статье должны быть f > 2F. Поэтому при частоте дискретизации 44.1кГц вы синусойду с частотой 22,05 Гц корректно не восстановите.

    2) При дискретизации частотой некратной, никаких интермодуляционных искажений не будет. В соответствии с теоремой Котельникова сигнал восстановится теоретически точно, без погрешности. Однако это будет только в том случае, если мы будем использовать фильтры с идеальными характеристиками. Поскольку все реальные фильтры имеют АЧХ неидеальную, сигнал восстанавливается с искажениями. Чем больше будет браться частота дискретизации, тем меньше будет этих искажений. Поэтому при частоте дискретизации в 192 кГц качество звука для сигналов с высокими частотами на порядок выше.

  8. Небесный Андрей (автор)

    Здравствуйте, Дмитрий!
    Спасибо за Ваш развернутый комментарий.
    1. Да, я согласен, что там должно стоять строгое неравенство и начиная с частоты в 22,05 кГц — это условие и не выполняется.

    На той же википедии при этом приводится такая выдержка из работы Котельникова:

    Любую функцию f(t), состоящую из частот от 0 до fc, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/2fc секунд

    Т.е. частоту fc можно передавать с любой точностью при частоте дискретизации вдвое больше самой fc.

    Так или иначе те же 20 кГц тоже очень далеки от правдоподобности.

    2. И тут я с Вами согласен!) В идеале на выходе цифро аналогового преобразователя должны стоят фильтры 6-8 порядка, которые не только трудно реализуемы но еще и вносят существенный вклад в искажение как частотной так и фазовой характеристики. Поэтому в качестве альтернативы обычно обходятся фильтром 2-го порядка. А он все-таки не может полноценно срезать все лишнее.

    По крайней мере, глядя осциллографом на выходе моего HiFiMan HM-601 я наблюдал немного сглаженные, но в целом такие же картинки, как и приводятся в статье.

    Однако сегодня существуют не только аналоговые, но и цифровые фильтры, способные обеспечить очень крутой срез всех частот выше слышимых. Однако это уже несколько сложнее и дороже.
    __________
    Почему же не будет интермодуляционных искажений? Если посмотреть на картинки частот не кратных частоте дискретизации, то отчетливо видно что точки идут волнами. А частота этих волн и есть частота дискретизации. Соответственно полезный сигнал промодулирован частотой дискретизации.

    Я вам даже больше скажу, если сгенерировать сигнал плавно меняющийся от 20 Гц до 20кГц, то это становится даже слышно, примерное после 10кГц частота, по ощущениям, начинает плавать туда сюда вместо плавного роста.

  9. Андрей

    Добрый вечер, вы также не учли то что звуковой сигнал при оцифровке не будет синхронный с дискретизацией, например при рассинхроне в пол периода частоты дискретизации вместо треугольников у вас получится ровная линия.

  10. AndreyS

    Кому-то Бог дал уши, а кому-то — теорему Котельникова.
    С Вашего позволения расскажу давнишнюю историю. Сейчас кажется, что это было сто лет назад, но на самом деле немного меньше. Был пик расцвета аналогового аудио. Я случайно в неурочное время оказался возле одного стенда на выставке достижений народного хозяйства. Японского народа… Сама выставка еще не открылась, а только монтировались стенды. Был конец дня. На стенде была представлена акустическая система с усилителем. Верхняя частота передачи колонок — 70кГц, усилителя — 100кГц. Через эту систему играла музыка от стоящего в углу катушечного магнитофона. Рядом сидел пожилой японец, слушал музыку и пил, что-то, принесенное в термосе. Звук был, надо отдать должное, впечатляющий. Такая вот обстановка. Ну и я тут, весь такой умный, все знающий — второй Котельников. Спрашиваю — а чтой-то за неувязочка у Вас тут, гражданин уважаемый — усилитель до 100кГц, колонки — до 70-ти, а слышим мы и подавно до 20-ти? Японец оказался не просто представителем производителя, а инженером-разработчиком. Он подозвал переводчика, тот ему перевел мой вопрос и, как это не поразительно, японец мне ответил. Первая часть ответа состояла из того, что интерференция колебаний вызывает образование суммарных и разностных частот. Если сделать тракт с полосой пропускания в пределах слышимости, например, до 20 кГц, то мы потеряем частоту 5кГц, если на вход будет подано 2 частоты — 20кГц и 25кГц. В этот момент переводчика у нас отняли, но японцу, почему-то, захотелось, что бы я понял его концепцию. Уже на плохом английском, жестикулируя и рисуя в блокноте, он говорил про передачу фазовой информации в звуке, о влиянии фазовых искажений на звуковую картину, про альтернативное видение окружающего пространства при помощи слуха…
    Теорема Котельникова должна применяться после понимания того, какую информацию из колебаний мы хотим восстановить. И если у Вас есть уши — им необходим объем звуковой информации бОльший на порядок. Звуковая сцена, окружающее пространство — это фазовая информация, которая только начинает появляться при разрешении 18бит 96кГц. Удачи всем!

  11. Небесный Андрей (автор)

    Спасибо за ваш полезный и глубокий комментарий!
    Вы несомненно правы! Я както даже не задумывался с этой точки зрения. Так что еще раз спасибо!)

  12. Дмитрий

    треугольный сигнал на 20 кГц, появляются гармоники которые портят звук… Оч интересно..а гармоники имеют частоту выше чем 20 кГц или ниже?….а? Каким ухом вы собираетесь их слышать?

  13. Небесный Андрей (автор)

    Конечно же, на выходе любого ЦАПа стоит ФНЧ, который скругляет этот треугольник, приближая его к синусу.
    Вот только для полноценного избавления от лишнего цифрового мусора, порождаемого ЦАПом, нужен ФНЧ с частотой среза 20кГц, обеспечивающий затухание сигнала в 30-40 дБ, к часте дискретизации в 44кГц. Построение подобного аналогово фильтра технически очень сложная и муторная задача, поэтому все чаще прибегают к цифровым фильтрам и псевдо учетверению частоты дескретизации.
    А все это нужно, чтобы какраз таки убрать гармоники, лежащие на частотах, кратных частоте дескритизации 44к, 88к… Которые хоть и лежат за пределами слышимого диапазона, но оказывают влияние на него.
    Наверное все это не просто так делается, мм?

  14. AndreyS

    «а гармоники имеют частоту выше чем 20 кГц или ниже?….а? Каким ухом вы собираетесь их слышать?» — Дмитрий, это называется «я не читатель, я- писатель». Простите.
    Если речь идет о гармониках, связанных с АЦП, то они в Вашем примере займут весь спектр от 0 Гц до нескольких МГц, по причине их нечетности и способности складываться, вычитаться (в том числе и с исходным сигналом) и много еще чего делать в нелинейном тракте. Спектральное распределение шума Вы можете посмотреть, подключив анализатор. Неплохо от него избавляются специальными алгоритмами, вычитающими в несколько итераций спектр, который должен быть образован гармониками, из исходного сигнала. Недостаток метода — дороговизна и привязка к конкретному аппаратному тракту. Так же существуют менее точные, но более универсальные аппаратные аналоги этого решения (Burr-Brown, Tripath…), использующие введение обратной связи, но которые, тем не менее, являются общепризнанными стандартами высокого качества, прежде всего в передаче звука.

  15. Александр

    Садитесь, ДВА.

  16. Андрей

    Несколько примитивные представления о цифре. Давайте четко соотносил источник и приемник. Примечание это человек, его ухо, нервная система, мозг, (упрощённо), а с какой скоростью мозг может иметь картинку звука? А 192га24 бита, на сколько часто её изменяет?
    Автор, Вы не более чем фанатик.

  17. Йцукен

    Похоже никто не прочитал как работают разные ЦАПы. От сюда полное непонимание, и полный бред. Ни каких треугольников, на выходе будет сигнал исходный. С некоторыми искажениями конечно, но они ничтожно малы. А в сравнениях с искажениями винила можно об этом не думать, даже имея самый дешманский ЦАП ноутбука.

  18. Станислав

    Почему то все теорему Котельникова знают только на половину, и для восстановления сигнала используют сугубо MathCAD. Хотя по теореме для полноценного восстановления сигнала из отсчётов требуется не просто выход ЦАП, а последовательность бесконечно узких импульсов с амплитудой отсчётов с последующей фильтрацией прямоугольным фильтром с частотой среза в половину от частоты дискретизации. На практике мы не можем иметь такого крутого фильтра, и бесконечно узкие импульсы тоже нам не доступны. Поэтому, при оцифровке, исходный сигнал для начала фильтруют (неважно, аппаратно или программно). Не поленитесь и посмотрите спектр сигнала в записях со стандартной частотой дискретизации 44 кГц, Будете удивлены, то гармоник выше 16 к вы не увидите, их как будто просто отрезали. При восстановлении сигнала нормальная аппаратура просто обязана генерить импульсы длительностью много меньше периода дискретизации, и потом это хорошенько фильтровать. Дешёвые китайские игрушки говорилки потому так и режут ухо, что там просто выход ЦАП.
    Кто-то тут писал про образование гармоник. Мол подай на усилитель сигнал 20 и 25 кГц и получишь как минимум ещё 5 кГц. Так вот. В природе (при живом прослушивании инструмента) комбинационные частоты не формируются. Если что-то издает 4 и 14 кг, то 10 вы не услышите. Услышите вы их если в записывающей аппаратуре (неважно какой) будет хотя-бы квадратичная нелинейность: только квадрат и большие степени способны породить из пары частот их высшие и низшие комбинационные частоты. А подобного рода приколы это беда, это искажение изначального сигнала, и с этим сильно борются.
    Кто не верит в теорему Котельникова, поиграйте с преобразование Фурье, оно очень корректно работает ну прям вплотную к половине частоты дискретизации. Там синусоида во времени вообще ни на что может быть не похожа, но анализ покажет вам точное значение частоты и амплитуды.

  19. Борис

    Да это всё ерунда, записывают и мастерят при 24/192 и даже выше, потом понижают до 16/44,1 — и на диск. Никаких реальных проблем с качеством звука нет на любой аппаратуре.

Добавить комментарий

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Политика конфиденциальности

Наш сайт использует файлы cookies, чтобы улучшить работу и повысить эффективность сайта. Продолжая работу с сайтом, вы соглашаетесь с использованием нами cookies и политикой конфиденциальности.

Принять